五一到了~结合了之前的重难点，继续理了下笔记。

一、化学

1. 化学反应与限度

  • 化学反应速率

    • 定义：单位时间内反应物浓度减少或生成物浓度增加的量。
    • 计算公式： v=ΔcΔt\frac{\Delta c}{\Delta t}（单位：mol/(L·s)）。
    • 影响因素：浓度（增大浓度→速率加快）、温度（升温→速率加快）、催化剂（降低活化能）、接触面积（增大表面积→速率加快）。

  • 可逆反应与化学平衡

    • 特点：正逆反应同时进行，同一条件下各组分浓度不再变化（动态平衡）。
    • 平衡标志：(v正=v逆)( v_{\text{正}} = v_{\text{逆}} )；各物质浓度/百分含量保持不变。
    • 勒沙特列原理：改变条件（浓度、温度、压强），平衡向减弱这种改变的方向移动（如升温向吸热方向移动）。

  • 判断化学平衡的方法

    • 首先，要牢记气态方程： PV=nRTPV=nRT，然后我们根据题目给出的条件来看它里面的量是不是定值。一般来说R是常数。
    • 然后，看一看(v正=v逆)( v_{\text{正}} = v_{\text{逆}} )是不是成立，由反应物到生成物是正反应，反之为逆（其实应该也可以这样记：只要生成我想要的就是正反应？）
    • 总压强不随时间的改变而改变
    • 有颜色的看颜色是否改变，不改变一般是平衡的。（尽管我之前好像忽略了这个）

2. 有机化合物

  • 烃的分类与性质

    类型 结构特点 典型反应 实例
    烷烃 单键（C-C） 取代反应（如卤代） 甲烷
    烯烃 含双键（C=C） 加成反应（如与Br₂、H₂O） 乙烯
    芳香烃 苯环结构 取代（硝化）、加成 苯、甲苯

  • 同系物与同分异构体

    • 同系物：结构相似（官能团相同）、分子式差n个CH₂。
    • 同分异构体：分子式相同，结构不同（如碳链异构、官能团位置异构）。

  • 烷烃的命名

  • 系统命名口诀：选主链,称某烷,编号位。定支链,取代基，写在前;标位置,短线连,不同基,简到繁。相同基,合并算。

  • 编号：两端等距不同基，起点靠近简单基。等距又同基，位次和最小。

  • 重要反应类型（可以看看三一设计？）

    • 取代反应：有机物中原子/原子团被其他原子/原子团替代（如甲烷与Cl₂光照）。
    • 加成反应：双键/三键打开，加入其他原子（如乙烯与H₂生成乙烷）。

二、物理

1. 核心内容

  • 机械能守恒条件：只有重力或系统内弹力做功（无摩擦力、外力做功）。
  • 守恒表达式：Ek1+Ep1=Ek2+Ep2或ΔEk=−ΔEp E_{k1} + E_{p1} = E_{k2} + E_{p2} \quad \text{或} \quad \Delta E_k = -\Delta E_p
  • 应用步骤：
    1. 明确系统，判断是否满足守恒条件；
    2. 选择参考平面（零势能点,一般选最低点）；
    3. 列守恒方程求解。

2. 典型例题

  • 自由落体：物体下落时，重力势能转化为动能。
  • 斜面运动：物体沿光滑斜面滑下，机械能守恒。
  • 弹簧系统：弹簧压缩或拉伸时，动能与弹性势能相互转化。

这里的内容好像有点少，补个机车模型吧（

高中物理机车启动模型

一、模型分类

机车启动问题通常分为两种模式：

  1. 恒定功率启动（功率逐渐释放）
  2. 恒定加速度启动（匀加速到额定功率后转为恒定功率）

二、恒定功率启动模型

1. 物理公式推导

  • 功率公式：

    PP = F ⋅v\cdot v 其中 ( P ) 为额定功率，( F ) 为牵引力，( v ) 为瞬时速度。

  • 牛顿第二定律：[
    F−fF - f = mm ⋅a\cdot a ]
    ( f ) 为恒定阻力，( m ) 为机车质量，( a ) 为加速度。

  • 速度与时间关系：
    当速度增大时，牵引力 ( F=PvF = \frac{P}{v} ) 逐渐减小，直到 ( F=fF = f )，此时加速度 ( a=0a = 0 )，速度达到最大值：
    [vmax=Pf v_{\text{max}} = \frac{P}{f}
    ]

2. 运动特征

  • 加速度变化：由 ( a=Pmv−fma = \frac{P}{m v} - \frac{f}{m} )，随 ( vv ) 增大而减小。
  • 速度-时间图像：
    速度
    v(t)v ( t )
    v(t)v(t) 随时间逐渐增大，曲线趋近于
    vmaxv_{\text{max}}

三、恒定加速度启动模型

1. 物理过程分阶段

  • 阶段1（匀加速阶段）：

    • 保持加速度恒定，牵引力 ( F=f+maF = f + m a )。
    • 功率 ( P=F⋅vP = F \cdot v ) 随速度增大而增加，直到达到额定功率 ( P0P_0 )。
    • 匀加速阶段末速度：[
      v1=P0f+mav_1 = \frac{P_0}{f + m a}
      ]
    • 匀加速时间：
      [
      t1=v1a=P0a(f+ma)t_1 = \frac{v_1}{a} = \frac{P_0}{a(f + m a)}
      ]

  • 阶段2（恒定功率阶段）：

    • 功率保持 ( P0P_0 )，牵引力 ( F=P0vF = \frac{P_0}{v} ) 逐渐减小。
    • 加速度 ( a=F−fma = \frac{F - f}{m}) 减小至零，最终速度仍为 ( vmax=P0fv_{\text{max}} = \frac{P_0}{f} )。

2. 运动特征

  • 速度-时间图像：
    先线性增长，后曲线趋近于vmaxv_{\text{max}}

四、关键结论对比

启动方式 恒定功率启动 恒定加速度启动
最大速度 ( vmax=Pfv_{\text{max}} = \dfrac{P}{f} ) 相同，( vmax=P0fv_{\text{max}} = \dfrac{P_0}{f} )
加速度变化 持续减小至零 先恒定后减小至零
能量转化特点 功率始终满负荷 功率由零逐渐增至额定值

五、典型例题

题目：机车质量 mm = 2000kg2000 \text{kg} ，额定功率 P=60 kWP = 60 \, \text{kW}，阻力 f=2000 Nf = 2000 \, \text{N}。求：（1）恒定功率启动的最大速度；（2）以 aa = 1 m/s2\text{m/s}^2 匀加速的时间。

解答：

  1. 最大速度：vmaxv_{\text{max}} = Pf\frac{P}{f} = 60×1032000\frac{60 \times 10^3}{2000}= 30 m/s30 \, \text{m/s}
    \
  2. 匀加速时间：
  • 牵引力 FF = ff + mm aa = 20002000 + 20002000 ×1=4000 N\times 1 = 4000 \, \text{N}
  • 匀加速末速度 v1v_1 = PF\dfrac{P}{F}= 60×1034000\dfrac{60 \times 10^3}{4000} = 15m/s15 \text{m/s}
  • 时间 t1t_1 = v1a\dfrac{v_1}{a} = 151\dfrac{15}{1} = 15 s15 \,\text{s}

六、总结

  • 恒定功率启动：直接利用功率公式分析，速度渐增至稳定。
  • 恒定加速度启动：分两阶段，需注意功率达到额定值后转为变加速过程。
  • 核心思想：功率、力、速度的动态平衡关系 P=FvP = Fv。

三、数学

1. 平行关系证明

  • 线线平行：
    • 公理4：平行于同一直线的两直线平行。
    • 线面平行性质：若线a∥面α，过a的平面β与α交于b，则a∥b。
  • 线面平行：
    • 判定定理：平面外一直线与平面内一直线平行⇒线面平行。
    • 辅助方法：构造平行四边形或中位线。
  • 面面平行：
    • 判定定理：若面α内两条相交直线分别平行于面β⇒α∥β。

2. 垂直关系证明

  • 线线垂直：
    • 勾股定理逆定理（三维坐标系中计算向量内积为0）。
    • 等腰三角形三线合一。
  • 线面垂直：
    • 判定定理：直线垂直于平面内两条相交直线⇒线面垂直。
    • 常用模型：矩形折叠、圆锥的母线。
  • 面面垂直：
    • 判定定理：一个平面内的一条直线垂直于另一平面⇒两平面垂直。

3. 解题技巧

  • 辅助线法：通过作中点连线、垂线等构造已知几何关系。
  • 反证法：假设不成立，推导矛盾。
  • 向量法（选学）：用向量坐标计算证明垂直（如 a⃗\vec{a} ⋅b⃗=0\cdot \vec{b} = 0）。

4.平面向量相关

  • 1.在我们日常做题时，要注意方法，比如：基底法、坐标法、等面积法…
  • 2.平面向量常用公式：
    • 向量加法：a⃗+b⃗=(x1+x2,y1+y2)\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)
    • 向量减法：a⃗−b⃗=(x1−x2,y1−y2)\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)
    • 数量积（点乘）：a⃗⋅b⃗=x1x2+y1y2=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta
    • 向量的模：∣a⃗∣=x12+y12|\vec{a}| = \sqrt{x_1^2 + y_1^2}
    • 夹角公式：cos⁡θ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣=x1x2+y1y2x12+y12x22+y22\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2}\sqrt{x_2^2 + y_2^2}}
    • 平行（共线）条件：a⃗∥b⃗⇔x1y2−x2y1=0\vec{a} \parallel \vec{b} \Leftrightarrow x_1y_2 - x_2y_1 = 0
    • 垂直条件：a⃗⊥b⃗⇔a⃗⋅b⃗=x1x2+y1y2=0\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 = 0
    • 向量的投影：a在b上的投影=a⃗⋅b⃗∣b⃗∣2b⃗\text{a在b上的投影} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}\vec{b}
    • 两点间距离：点 AA(x1,y1)(x_1, y_1)、 BB(x2,y2)(x_2, y_2) 的距离为： |AB→∣\overrightarrow{AB}| = (x2−x1)2\sqrt({x_2 - x_1})^2 + (y2−y1)2(y_2 - y_1)^2
    • 中点坐标：线段 ABAB 的中点 MM 的坐标为：MM (x1+x22,y1+y22)\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)
    • 三角形面积：三点 A(x1,y1)A(x_1, y_1) 、B(x2,y2)B(x_2, y_2) 、C(x3,y3)C(x_3, y_3) 构成的三角形面积为：S S = 12\frac{1}{2} ∣AB→×AC→∣|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = 12\frac{1}{2} ∣(x2−x1)(y3−y1)−(x3−x1)(y2−y1)∣|(x_2 - x_1)(y_3 - y_1) - (x_3 - x_1)(y_2 - y_1)|
    • 三角不等式：∣a+b∣ |\mathbf{a} + \mathbf{b}| ≤\leq ∣a∣|\mathbf{a}| + ∣b∣|\mathbf{b}|等号成立当且仅当 a\mathbf{a} 与 b\mathbf{b} 同向。
    • 柯西不等式：∣a⋅b∣≤∣a∣∣b∣ |\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \leq |\mathbf{a}||\mathbf{b}|
    • 正交分解：
      向量 a\mathbf{a} 可分解为两个正交方向的分量：
      a=projba+(a−projba) \mathbf{a} = \text{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} + (\mathbf{a} - \text{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a})
      其中 projba\text{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} 为平行于 b\mathbf{b}的分量，a−projba\mathbf{a} - \text{proj}_{\mathbf{b}} \mathbf{a} 为垂直于 b\mathbf{b} 的分量。
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